Vamos a ver como calcular el
límite de una fracción donde tanto el numerador como el denominador son
polinomios.
Para ello necesitamos
saber previamente cuáles son los grados del polinomio del numerador y del
denominador.
Recordad que el grado de
un polinomio es el mayor exponente al que está elevada la incógnita.
Caso 1: El grado más alto
está en el denominador. Entonces el límite siempre vale 0.
Por ejemplo: lim(2n + 3)/(1 – n + n2) =
0, ya que el grado del numerador es 1 y el del denominador es 2.
Más ejemplos de este caso: lim(n2 –
2n)/(3n3 – n + 8) = 0, lim(2n)/(n5) = 0, lim(2/n) = 0. En
este último caso el grado del polinomio del numerador es 0 (el polinomio es 2)
y el grado del polinomio del denominador es 1 (el polinomio es n).
Caso 2: El grado más alto
está en el numerador. Entonces el límite siempre vale ∞. Para decidir si + ó –
infinito hay que coger los signos de los términos de mayor grado del numerador
y del denominador. Si son iguales el límite vale +∞, si son distintos vale -∞.
Ejemplo: lim(2n2 + 3n + 5)/(5n – 7) =
+∞, ya que el grado del numerador es 2, el del denominador es 1, luego el
resultado es ∞. Además los términos de mayor grado son 2n2 y 5n,
ambos de signo positivo, por eso el valor es +∞.
Otro ejemplo: lim(3 + 5n – 4n3)/(n2
– 1) = -∞, ya que el grado del numerador es 3, el del denominador es 2, luego
el resultado es ∞. Además los términos de mayor grado son -4n3 y n2,
de signo distinto, por eso el valor es -∞.
Y otro más: lim(-n4)/n2 = -∞,
ya que el grado del numerador es 4, el del denominador es 2, luego el resultado
es ∞. Además los términos de mayor grado son –n4 y n2, de
signo distinto, por eso el valor es -∞.
Mañana seguimos con el caso que falta.
Una pregunta, en el ejemplo (-n4)/n2 si fuese n4/(-n2) ¿el resultado seguiría siendo -∞ o al ser el de mayor grado positivo seria +∞? Gracias
ResponderEliminar-n elevado a un numero par como el 4 y el 2 da positivo siempre
EliminarSeguiría siendo -∞. Lo importante en estos casos es el que los dos signos sean iguales o distintos, no cuál es el signo del de mayor grado.
ResponderEliminarMuy bien explicado!!
ResponderEliminarno aclaras a qué valores tiende x, para los cuales son válidas las afirmaciones que haces.
ResponderEliminarTengo la misma duda o inquitud del Anónimo que escribio el 7 de Marzo.
ResponderEliminarLos limites a que tienden.
X esta incluida en los números naturales!
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