LIMITE DE UNA SUCESION

Si los términos de una sucesión (a_n) se van acercando cada vez más a un determinado número k, entonces a ese número se le llama límite de la sucesión. Se representa así: lim a_n = k.

Por ejemplo, en la sucesión (a_n) = 1/n, los sucesivos términos son: 1, 0´5, 0,3…, 0´25, 0´2, ….  Los términos van siendo cada vez menores. Si calculamos el término 100 valdrá: a₁₀₀ = 0´01. El término 1000 valdrá a₁₀₀₀ = 0´001. Conforme vamos calculando términos cada vez mayores la sucesión se va acercando a 0 cada vez más. Por eso 0 es el límite de esta sucesión: lim a_n = lim (1/n) = 0.

En la sucesión (b_n) = (n + 2)/n, los sucesivos términos son: 3, 2, 1´6…, 1´5, 1´4, …. Los términos van siendo cada vez más pequeños, pero ¿cuánto valdrá el límite? Para saberlo se calculan términos muy grandes, por ejemplo, el término de lugar 100: b₁₀₀ = 1´02, o el término de lugar 10000: b₁₀₀₀₀ = 1´0002. Es decir, la sucesión se va acercando a 1 cada vez más. Por ello: lim b_n = lim (n + 2)/n = 1.

Hay sucesiones que no tienen límite, ya que crecen o decrecen infinitamente. También se puede decir que su límite es el infinito (positivo o negativo).

Las sucesiones que tienen límite se llaman sucesiones convergentes. Las que no lo tienen son las sucesiones divergentes.

Por ejemplo, la sucesión c_n = n + 3. Sus primeros término son: 4, 5, 6, 7, 8, 9, … El término 1000 vale 1003. El término 1000000 vale 1000003. No se va acercando a ningún número, sino que crece sin parar. Esta sucesión no tiene límite, pero podemos escribir: lim c_n = lim (n+3) = +∞.

Veamos la sucesión d_n = (n² + 1)/(-n). Sus primeros términos, hallados con calculadora, son: -2, -2´5, -3´33…, -4,25, -5´2, … El término 100 vale  -100´01. El término 1000 vale  -1000´001. No se va acercando a ningún número, sino que decrece sin parar. Esta sucesión no tiene límite, pero podemos escribir: lim d_n = lim (n² + 1)/(-n) = -∞.

Una sucesión constante como e_n = 3, siempre es convergente, tiene límite: lim e_n = lim 3 = 3.