martes, 31 de enero de 2012

EL EXAMEN ES FACIL

A todos los que os examinéis mañana os deseo mucha suerte.

Espero haber podido ayudaros a aprobar la asignatura.

En el examen no olvidéis que es tipo test, que las respuestas falladas descuentan. Y que sólo una de las 4 opciones es válida, y en cada pregunta siempre hay una opción válida. Si conseguís descartar 3 de las opciones no perdáis el tiempo comprobando la cuarta. Muchas veces la mejor forma de hacer un ejercicio es por descarte.

En fin, ha sido un placer acompañaros en estos meses. Si algún día venís por Ponferrada y me encontráis no dejéis de saludarme.

MUCHA SUERTE¡

DOS LIMITES DE EXAMEN

lunes, 30 de enero de 2012

EJERCICIOS DE INECUACIONES

El conjunto de soluciones de la inecuación 2x 1 0 es:

a)      [1/2,+∞) , b) (−∞, 1/2) , c) (1/2, 1/2], d) [1/2,+∞) .
Para resolver la inecuación se despeja la x:
2x 1 0 à 2x ≥ 1 à x ≥ 1/2.
La solución son todos los números mayores o iguales que 1/2, es decir, el intervalo de 1/2 al infinito, incluyendo al propio 1/2: [1/2,+∞).
Solución: la opción a).

El conjunto de soluciones de la inecuación  -2x 1 ≤ 0 es:

a)      [1/2,+∞) , b) (−∞, 1/2) , c) (1/2, 1/2], d) [1/2,+∞) .

Para resolver la inecuación se despeja la x:
-2x 1 ≤ 0 à -2x ≤ 1 à x ≥ -1/2.
Fíjate en que en el último paso el símbolo ≤ se cambia por ≥. Esto ocurre porque hemos cambiado de lado un número negativo (el -2) que estaba multiplicando, pasándolo al otro lado dividiendo.
La solución son todos los números mayores o iguales que -1/2, es decir, el intervalo de -1/2 al infinito, incluyendo al propio -1/2: [-1/2,+∞).
Solución: la opción d).

domingo, 29 de enero de 2012

MAS INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO


Una inecuación del tipo I x + a I < b, se resuelve así:  I x + a I < b à -b < x + a < b à -b –a < x < b –a. La solución es el intervalo (-b-a, b-a).

Por ejemplo:

I x + 2 I < 5 à -5 < x + 2 < 5 à -5 -2 < x < 5 -2 à -7 < x < 3. Solución: (-7, 3).

I x – 3 I ≤ 2 à -2 ≤ x – 3 ≤ 2 à -2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3 à 1 ≤ x ≤ 5. Solución: [1, 5].

I x + 2 I < -5. No tiene solución pues el valor absoluto nunca puede ser menor que un número negativo.

I x + 6 I < 4 à -4 < x + 6 < 4 à -4 -6 < x < 4 -6 à -10 < x < -2. Solución: (-10, -2).



Una inecuación del tipo I x + a I > b, se resuelve así:  I x + a I > b à x + a < -b   ó   x + a > b àx < -b –a ó x > b - a . La solución es (-∞, -b-a) U (b-a, +∞).

Por ejemplo:

I x + 2 I > 3 à x + 2 < -3  ó  x + 2 > 3 à x < -5  ó  x > 1. Solución: (-∞, -5) U (1, +∞).

I x - 3 I ≥ 4 à x - 3 ≤ -4  ó  x - 3 ≥ 4 à x ≤ -1  ó  x ≥ 7. Solución: (-∞, -1] U [7, +∞).

I x + 5 I > -3. Su solución es todo R ya que el valor absoluto siempre es positivo y, por lo tanto, mayor que cualquier número negativo.

sábado, 28 de enero de 2012

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO


Veamos algunas de las posibilidades que pueden darse:

Si a es un número real positivo cualquiera: I x I < a à -a < x < a. Es decir, la solución es el conjunto de todos los números reales del intervalo abierto (-a, a).

Si a es un número real positivo cualquiera: I x I ≤ a à -a ≤ x ≤ a. Es decir, la solución es el conjunto de todos los números reales del intervalo cerrado [-a, a].

Si a es un número real negativo cualquiera: I x I < a  no tiene solución, ya que el valor absoluto siempre es positivo y no puede ser menor que un número negativo. Igual ocurre si el símbolo es ≤.

Si a es un número real positivo cualquiera: I x I > a à x < -a ó x > a. Es decir, la solución es el conjunto de todos los números reales de la unión de dos intervalos abiertos: (-∞, -a) U (a, +∞).

Si a es un número real positivo cualquiera: I x I ≥ a à x ≤ -a ó x ≥ a. Es decir, la solución es el conjunto de todos los números reales de la unión de dos intervalos semicerrados: (-∞, -a] U [a, +∞).

Si a es un número real negativo cualquiera: I x I > a à todos los números reales son solución de la inecuación à Solución: (-∞, +∞). Igual ocurre si el símbolo es ≥.



Por ejemplo: I x I < 5 à -5 < x < 5 à x pertenece a (-5, 5).

Más ejemplos sencillos:

I x I > 3 à x pertenece a (-∞, -3) U (3, +∞).

I x I ≤ 2 à x pertenece a [-2, 2].

I x I ≥ 7 à x pertenece a (-∞ -7] U [7, +∞).

I x I < -3 à no hay solución.

I x I ≥ -2 à la solución es todo R, el intervalo (-∞, +∞).


viernes, 27 de enero de 2012

ECUACIONES SENCILLAS CON VALOR ABSOLUTO


Recuerda que el valor absoluto de un número lo que hace es quitarle el signo al número.

Ejemplos de ecuaciones sencillas con valor absoluto:

La ecuación con valor absoluto más sencilla sería: I x I = 0. Su solución es x = 0.

La ecuación I x I = 3, tiene dos soluciones: x = 3, x = -3.

Si es I x I = 10, las soluciones son: x = 10, x = -10.

La ecuación I x I = -2 no tiene soluciones. No existe ningún número cuyo valor absoluto sea negativo.

Si la ecuación fuese: -2 + I x I = -1, entonces primero habría que despejar I x I, dejándolo sólo en el lado izquierdo: I x I = -1 + 2 à I x I = 1 à x = 1, x = -1.

Una ecuación más complicada es: I x + 3 I = 4. Para resolverla en realidad tenemos que hacer dos ecuaciones: x + 3 = 4  y  x + 3 = -4. De cada una de ellas obtenemos una solución de la ecuación original:

x + 3 = 4 à x = 1, x + 3 = -4 à x = -7. Soluciones: 1 y -7.

Otra parecida: I x – 2 I = 5. Hay que resolver dos: x – 2 = 5  y  x – 2 = -5:

x – 2 = 5 à x = 7, x – 2 = -5 à x = -3. Soluciones: 7 y -3.

Si la ecuación es: 3 + I 1 + x I = 8, primero despejamos el valor absoluto: I 1 + x I = 8 – 3 à I 1 + x I = 5, y ahora resolvemos las dos ecuaciones siguientes:

1 + x = 5 à x = 4, 1 + x = -5 à x = -6. Soluciones: 4 y -6.


domingo, 22 de enero de 2012

LIMITE DE UN COCIENTE DE POLINOMIOS (II)


Caso 3: Los grados son iguales. Entonces para hallar el límite hay que coger los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y del denominador y dividirlos.

Ejemplo: lim(10n2 + 3n + 5)/(5n2 – 7) = 2, ya que el grado del numerador es 2 y el del denominador es 2 también. Además los términos de mayor grado son 10n2 y 5n2, y sus coeficientes son 10 y 5, que divididos dan 2.

Otro ejemplo: lim(8 + n – 4n3)/(n3 – 5) = -4, ya que el grado del numerador es 3 y el del denominador es 3 también. Además los términos de mayor grado son -4n3 y n3, y sus coeficientes son -4 y 1, que divididos dan -4.

Otro más: lim(-n2)/(n2 + 1) = -1, ya que el grado del numerador es 2 y el del denominador es 2 también. Además los términos de mayor grado son –n2 y n2, y sus coeficientes son -1 y 1, que divididos dan -1.

Ultimo ejemplo: lim(n + 3)/(1 + 2n) = 1/2, ya que el grado del numerador es 1 y el del denominador es 1 también. Además los términos de mayor grado son n y 2n, y sus coeficientes son 1 y 2, que divididos dan 1/2.

sábado, 21 de enero de 2012

LIMITE DE UN COCIENTE DE POLINOMIOS


Vamos a ver como calcular el límite de una fracción donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.

Para ello necesitamos saber previamente cuáles son los grados del polinomio del numerador y del denominador.

Recordad que el grado de un polinomio es el mayor exponente al que está elevada la incógnita.

Caso 1: El grado más alto está en el denominador. Entonces el límite siempre vale 0.

Por ejemplo: lim(2n + 3)/(1 – n + n2) = 0, ya que el grado del numerador es 1 y el del denominador es 2.

Más ejemplos de este caso: lim(n2 – 2n)/(3n3 – n + 8) = 0, lim(2n)/(n5) = 0, lim(2/n) = 0. En este último caso el grado del polinomio del numerador es 0 (el polinomio es 2) y el grado del polinomio del denominador es 1 (el polinomio es n).

Caso 2: El grado más alto está en el numerador. Entonces el límite siempre vale ∞. Para decidir si + ó – infinito hay que coger los signos de los términos de mayor grado del numerador y del denominador. Si son iguales el límite vale +∞, si son distintos vale -∞.

Ejemplo: lim(2n2 + 3n + 5)/(5n – 7) = +∞, ya que el grado del numerador es 2, el del denominador es 1, luego el resultado es ∞. Además los términos de mayor grado son 2n2 y 5n, ambos de signo positivo, por eso el valor es +∞.

Otro ejemplo: lim(3 + 5n – 4n3)/(n2 – 1) = -∞, ya que el grado del numerador es 3, el del denominador es 2, luego el resultado es ∞. Además los términos de mayor grado son -4n3 y n2, de signo distinto, por eso el valor es -∞.

Y otro más: lim(-n4)/n2 = -∞, ya que el grado del numerador es 4, el del denominador es 2, luego el resultado es ∞. Además los términos de mayor grado son –n4 y n2, de signo distinto, por eso el valor es -∞.

Mañana seguimos con el caso que falta.

viernes, 20 de enero de 2012

ALGUNOS LIMITES SENCILLOS

El límite de una sucesión constante an = k es k: lim an = lim k = k.

Por ejemplo, si an = 3, entonces lim an = lim 3 = 3.

Directamente: lim 5 = 5, lim (-2) = -2.

La sucesión an = n es divergente: lim n = +∞. En cambio: lim (-n) = -∞.

El límite de cualquier sucesión cuyo término general sea un polinomio (con la letra n) es infinito. Para saber si es + ó – infinito debemos mirar el signo del término de grado más alto del polinomio.

Por ejemplo: lim (n2 + 2n – 3) = +∞, ya que el término de mayor grado es n2 que tiene signo +.

Más ejemplos: lim (3n + 2n4 – 5n3 + 4) = +∞, porque 2n4 es el término de mayor grado y tiene signo +.

Los siguientes también son polinomios: n + 2, 1 – 3n, n3. Por lo tanto: lim (n + 2) = +∞, lim (1 – 3n) = -∞, lim n3 = + ∞.

El límite de una potencia de un polinomio es infinito. Para saber si es + ó – infinito hace falta saber el límite del polinomio, y si el exponente es par o impar.

Ejemplos de esto son:

lim (n + 2)2 = (+∞)2 = +∞.

lim (2n – n3)2 = (-∞)2 = +∞.

lim (-n2 + 4n -3)3 = (-∞)3 = -∞.

jueves, 19 de enero de 2012

LIMITE DE UNA SUCESION

Si los términos de una sucesión (an) se van acercando cada vez más a un determinado número k, entonces a ese número se le llama límite de la sucesión. Se representa así: lim an = k.

Por ejemplo, en la sucesión (an) = 1/n, los sucesivos términos son: 1, 0´5, 0,3…, 0´25, 0´2, ….  Los términos van siendo cada vez menores. Si calculamos el término 100 valdrá: a100 = 0´01. El término 1000 valdrá a1000 = 0´001. Conforme vamos calculando términos cada vez mayores la sucesión se va acercando a 0 cada vez más. Por eso 0 es el límite de esta sucesión: lim an = lim (1/n) = 0.

En la sucesión (bn) = (n + 2)/n, los sucesivos términos son: 3, 2, 1´6…, 1´5, 1´4, …. Los términos van siendo cada vez más pequeños, pero ¿cuánto valdrá el límite? Para saberlo se calculan términos muy grandes, por ejemplo, el término de lugar 100: b100 = 1´02, o el término de lugar 10000: b10000 = 1´0002. Es decir, la sucesión se va acercando a 1 cada vez más. Por ello: lim bn = lim (n + 2)/n = 1.

Hay sucesiones que no tienen límite, ya que crecen o decrecen infinitamente. También se puede decir que su límite es el infinito (positivo o negativo).

Las sucesiones que tienen límite se llaman sucesiones convergentes. Las que no lo tienen son las sucesiones divergentes.

Por ejemplo, la sucesión cn = n + 3. Sus primeros término son: 4, 5, 6, 7, 8, 9, … El término 1000 vale 1003. El término 1000000 vale 1000003. No se va acercando a ningún número, sino que crece sin parar. Esta sucesión no tiene límite, pero podemos escribir: lim cn = lim (n+3) = +∞.

Veamos la sucesión dn = (n2 + 1)/(-n). Sus primeros términos, hallados con calculadora, son: -2, -2´5, -3´33…, -4,25, -5´2, … El término 100 vale  -100´01. El término 1000 vale  -1000´001. No se va acercando a ningún número, sino que decrece sin parar. Esta sucesión no tiene límite, pero podemos escribir: lim dn = lim (n2 + 1)/(-n) = -∞.

Una sucesión constante como en = 3, siempre es convergente, tiene límite: lim en = lim 3 = 3.


miércoles, 18 de enero de 2012

SUCESIONES


Las siguientes son sucesiones de números reales:

(an) =  5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …

(bn) =  2, 4, 8, 16, 32, 64, …

(cn) =  1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, …

Cada uno de los números es un  término de la sucesión. Los puntos suspensivos nos dicen que las sucesiones no terminan, tienen infinitos términos. El término de orden k de la sucesión (an) se representa por ak.

Así, en las sucesiones del ejemplo anterior se cumple que: a1 = 5, b2 = 4, c3 = ¼, a5 = 25.

El término general de una sucesión es una expresión que nos dice el valor del término n-ésimo de la sucesión.

Por ejemplo, en las sucesiones del principio los términos generales son:

an = 5n, bn = 2n, cn = 1/(n+1)

Con el término general se puede calcular cualquier término de la sucesión.

En la sucesión (an) de término general  an = 5n, ¿cómo calcular el término de lugar 100? Se sustituyen en el término general las n por 100: a100 = 5*100 = 500. Así, el término de lugar 100 vale 500.

Un tipo especial de sucesiones son las sucesiones constantes. En ellas todos los términos son iguales.

Por ejemplo: (an) =  2, 2, 2, 2, 2…  es una sucesión constante donde todos los términos valen 2. El término general es an = 2.

Ejemplos de sucesiones más complejas podrían ser los siguientes:

(an) =  (2n + 3)/(n – 1), (bn ) = n2 + n -1, (cn) = (n- 5)3

El término de lugar 10 en estas sucesiones valdría:

a10 = (2*10 + 3)/(10 – 1) = 23/9.

 b10 = 102 + 10 – 1 = 109.

c10 = (10 – 5)3 = 125.

martes, 17 de enero de 2012

NUMEROS INTERIORES


En un conjunto de números reales un número es interior al conjunto si podemos encontrar algún intervalo abierto que contenga al número y esté incluido en el conjunto.

Por ejemplo, en A = [2, 5] el número 3 es interior  a A, ya que el intervalo abierto (2´5, 4) contiene a 3 y está incluido en A.

En dicho conjunto A el número 5 no es interior. No hay ningún intervalo abierto que contenga a 5 y esté incluido en A. Por ejemplo, el intervalo (4´9, 5´1) contiene a 5 pero no está incluido en A.

En general si tenemos un intervalo de números reales, todos los números del intervalo son interiores excepto los extremos.

En el intervalo (-1, 8) todos los números del intervalo son interiores. No lo son el -1 ni el 8.

¿Es interior el número 3 al conjunto A = (-3, 3) U (3, 6)? Para que lo sea necesitamos encontrar un intervalo abierto que contenga a 3 y esté contenido en A. Pero no lo hay. Por ejemplo, el intervalo (2, 4) contiene a 3 pero en está contenido en A, ya que el propio número 3 no está en A (no está en ninguno de los dos intervalos que forman A). Por lo tanto 3 no es interior a A.

¿De cuáles de los siguientes conjunto es interior el número 0? A ) (-∞, 0) B) (-2, 0) U [0, 3)  C) [0, 4]  D) (-∞, 6) (-1, 7).

El número 0 no es interior al intervalo del apartado A) ya que 0 es un extremo de dicho intervalo.

El conjunto del apartado B) es: (-2, 0) U [0, 3) = (-2, 3), luego 0 sí es interior a este conjunto.

No es interior al intervalo del apartado C) por ser un extremo de él.

El conjunto del apartado D) es: (-∞, 6) (-1, 7) = (-1, 6), luego 0 sí es interior a este conjunto.

lunes, 16 de enero de 2012

EL MAXIMO Y EL MINIMO


El máximo de un conjunto A de número reales es el supremo, siempre y cuando éste pertenezca al conjunto, en otro caso no hay máximo. Se representa por: max A.

El mínimo de un conjunto A de número reales es el ínfimo, siempre y cuando éste pertenezca al conjunto, en otro caso no hay mínimo. Se representa por: min A.

Por ejemplo, en el intervalo A = (-2, 7] el ínfimo es -2, la mayor de las cotas inferiores, pero como -2 no pertenece a A, entonces no hay mínimo. El supremo es 7, la más pequeña de las cotas superiores, y como 7 pertenece a A, entonces sí hay máximo: max A = 7.

En el intervalo (-3, +∞) el ínfimo es -3, pero como -3 no pertenece al intervalo, entonces no hay mínimo. No hay supremo: sup (-3, +∞) = +∞, luego tampoco hay máximo.

Recordad que en un intervalo de números reales el ínfimo es siempre el extremo inferior del intervalo, y el supremo el extremo superior.

En el intervalo [0, 1] el ínfimo es 0 y el supremo es 1. Como ambos pertenecen al intervalo por ser cerrado, se tiene: max [0, 1] = 1, min [0, 1] = 0.

¿Cuál de los siguientes conjuntos de números reales no tiene mínimo? A) (-∞, 5) [2, +∞). B) (-2, 5) [-1, 6). C) (-4, 7) [0, 3]. D) (2, +∞) U [5, 10].

El conjunto del apartado A es: (-∞, 5) [2, +∞)  = [2, 5), y como el ínfimo es 2, que sí está en A, entonces A sí tiene mínimo, el 2.

El conjunto del apartado B es: (-2, 5) [-1, 6) = [-1, 5), que tiene ínfimo y mínimo iguales a -1.

El conjunto del apartado C es: (-4, 7) [0, 3] = [0, 3], con ínfimo y mínimo iguales a 0.

El conjunto del apartado D es: (2, +∞) U [5, 10] = (2, +∞), cuyo ínfimo es 2, que no está en el conjunto, luego no tiene mínimo. Este es la solución.

domingo, 15 de enero de 2012

EL SUPREMO Y EL INFIMO


El supremo de un conjunto A de números es la menor de sus cotas superiores. Se representa por sup A.

El ínfimo es la mayor de sus cotas inferiores. Se representa por inf A.

En un intervalo del tipo A = (a, +∞) no hay supremo, pues no tiene cotas superiores. Se dice entonces que sup A = +∞.

En un intervalo del tipo A = (-∞, a ) no hay ínfimo, pues no tiene cotas inferiores. Se dice entonces que inf  A = -∞.



Por ejemplo, en el conjunto A = {-1, 3, 5, -7, 0} formado por los cinco números que están entre llaves, las cotas superiores son todos los números mayores o iguales que 5 (que es el mayor de los números del conjunto). El supremo será la cota superior más pequeña, o sea, el 5: sup A = 5. Las cotas inferiores son todos los números menores o iguales que -7 (que es el menor de los números del conjunto). El ínfimo será la cota inferior más grande, o sea, el -7: inf A = -7.

En el intervalo [2, 9), las cotas superiores son los números mayores o iguales que 9. La menor de todas es el propio 9. Así: sup [2, 9) = 9. Las cotas inferiores son los números menores o iguales que 2. La mayor es el 2: inf [2, 9) = 2.

En el intervalo (-∞, 7] el supremo es 7. No hay ínfimo. Así: sup (-∞, 7] = 7, inf (-∞, 7] = -∞. En el intervalo (-3, +∞): sup (-3, +∞) = +∞, inf (-3, +∞) = -3.

El conjunto A = (2, +∞) U [-3, +∞) no tiene supremo ya que A = [-3, +∞) y no hay cotas superiores. Tenemos: sup A = +∞. Además: inf A = -3.

¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene a -1 de supremo? A) (-∞, 6) [3, 7)  B) (-∞ -7)  C) [-12, -8) U (-5, -1)  D)  (-10, 10) (-8,0).

El conjunto del apartado A es: (-∞, 6) [3, 7)  = [3, 6), y el supremo es 6, no -1. El intervalo del apartado B) tiene de supremo a -7. El conjunto de C) es: [-12, -8) U (-5, -1) y está formado por la unión de todos los números comprendidos entre -12 (incluido) y -8 y los comprendidos entre -5 y -1. Las cotas superiores son todos los números mayores o iguales que -1 (que es el mayor número del conjunto). El supremo es -1. El conjunto del apartado D) es: (-10, 10) (-8,0) = (-8, 0) tiene a 0 de supremo.

Puedes ver más ejemplos de Supremo e Ínfimo en la entrada del blog:
http://avanzandoencalculo.blogspot.com.es/2015/02/el-supremo-y-el-infimo-2.html

Y las nuevas entradas sobre Espacios Vectoriales en:
http://avanzandoencalculo.blogspot.com.es/2016/06/que-es-un-espacio-vectorial_28.html

sábado, 14 de enero de 2012

COTAS SUPERIORES E INFERIORES


Un conjunto de números reales puede tener cotas superiores. Un número es una cota superior de un conjunto de números si es mayor o igual que todos los números del conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto A = {2, 4, 7} formado por los tres números 2, 4 y 7, una cota superior es el número 10, ya que es mayor o igual que 2, que 4 y que 7. Otra cota superior de A es el número 25, o el número 100, o el número 9. También lo es el número 7, ya que 7 es mayor  igual que 2, que 4 y que el propio 7.

En el intervalo (-2, 4], cotas superiores son, por ejemplo, los números 5, 8, 10, 23, 200, y también lo es el 4, ya que 4 es mayor o igual que todos los números que están en el intervalo.

El intervalo (5, +∞) no tiene cotas superiores. No hay ningún número mayor o igual que todos los del intervalo.

El vídeo de Youtube http://youtu.be/i24b1h-TnkA muestra más ejemplos de cotas superiores.

Un conjunto de números reales puede tener cotas inferiores. Un número es una cota inferior de un conjunto de números si es menor o igual que todos los números del conjunto.

En el conjunto B = {-2, 7} cotas inferiores son -10, -4, -3, -2´5, -2. Todos estos son menores o iguales que el -2 y el 7 que son los únicos números de B.

Cotas inferiores del intervalo [0, 7) son -100, -7, -2, -1, -0´5, 0.

El intervalo (-∞, 7] no tiene cotas inferiores. No hay ningún número menor o igual que todos los del intervalo.

¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene a -7 de cota inferior? A) (-∞, 6) [3, 7)  B) (-∞ -7)  C) [2, 4) U (-8, 10)  D)  (-10, 10) (-8,0).

El conjunto del apartado A es: (-∞, 6) [3, 7)  = [3, 6) que sí tiene a -7 de cota inferior, pues es menor o igual que todos los números entre 3 y 6. El intervalo B) no tiene a -7 de cota inferior, de hecho no tiene cotas inferiores. El conjunto de C) es: [2, 4) U (-8, 10) = (-8, 10), que no tiene a -7 de cota inferior. El del D) es: (-10, 10) (-8,0) = (-8, 0) tampoco tiene a -7 de cota inferior.


Puedes ver más ejemplos de cotas superiores e inferiores en la entrada:
http://avanzandoencalculo.blogspot.com.es/2015/02/cotas-superiores-e-inferiores-2.html