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domingo, 15 de enero de 2012

EL SUPREMO Y EL INFIMO


El supremo de un conjunto A de números es la menor de sus cotas superiores. Se representa por sup A.

El ínfimo es la mayor de sus cotas inferiores. Se representa por inf A.

En un intervalo del tipo A = (a, +∞) no hay supremo, pues no tiene cotas superiores. Se dice entonces que sup A = +∞.

En un intervalo del tipo A = (-∞, a ) no hay ínfimo, pues no tiene cotas inferiores. Se dice entonces que inf  A = -∞.



Por ejemplo, en el conjunto A = {-1, 3, 5, -7, 0} formado por los cinco números que están entre llaves, las cotas superiores son todos los números mayores o iguales que 5 (que es el mayor de los números del conjunto). El supremo será la cota superior más pequeña, o sea, el 5: sup A = 5. Las cotas inferiores son todos los números menores o iguales que -7 (que es el menor de los números del conjunto). El ínfimo será la cota inferior más grande, o sea, el -7: inf A = -7.

En el intervalo [2, 9), las cotas superiores son los números mayores o iguales que 9. La menor de todas es el propio 9. Así: sup [2, 9) = 9. Las cotas inferiores son los números menores o iguales que 2. La mayor es el 2: inf [2, 9) = 2.

En el intervalo (-∞, 7] el supremo es 7. No hay ínfimo. Así: sup (-∞, 7] = 7, inf (-∞, 7] = -∞. En el intervalo (-3, +∞): sup (-3, +∞) = +∞, inf (-3, +∞) = -3.

El conjunto A = (2, +∞) U [-3, +∞) no tiene supremo ya que A = [-3, +∞) y no hay cotas superiores. Tenemos: sup A = +∞. Además: inf A = -3.

¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene a -1 de supremo? A) (-∞, 6) [3, 7)  B) (-∞ -7)  C) [-12, -8) U (-5, -1)  D)  (-10, 10) (-8,0).

El conjunto del apartado A es: (-∞, 6) [3, 7)  = [3, 6), y el supremo es 6, no -1. El intervalo del apartado B) tiene de supremo a -7. El conjunto de C) es: [-12, -8) U (-5, -1) y está formado por la unión de todos los números comprendidos entre -12 (incluido) y -8 y los comprendidos entre -5 y -1. Las cotas superiores son todos los números mayores o iguales que -1 (que es el mayor número del conjunto). El supremo es -1. El conjunto del apartado D) es: (-10, 10) (-8,0) = (-8, 0) tiene a 0 de supremo.

14 comentarios:

  1. Estimado profesor,
    entiendo que en las definiciones de los dos primeros párrafos el supremo sería el menor de sus cotas superiores y el ínfimo el mayor de sus cotas inferiores. Por tanto habría un error en la redacción. ¿Es así?
    Un saludo
    Oscar

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    1. No presenta errores en la redacción. Piensa en las cotas superiores de un conjunto, son todos los elementos mayores o iguales que el mayor numero del conjunto, por lo que la menor de ellas, la que es exactamente menor que cualquier otra cota, será el Supremo.

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  2. Donde pone "El conjunto A = (2, +∞) U [-3, +∞) no tiene supremo ya que A = (2, +∞) y no hay cotas superiores. Tenemos: sup A = +∞. Además: inf A = 2." No seria A= [-3, +∞)o estoy equivocada?

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  3. Efectivamente, ya lo cambié: el supremo es la menor de las cotas superiores, el ínfimo la mayor de las cotas inferiores.

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  4. Cierto Beatriz, debe ser A = [-3, +∞). Ya está cambiado. En todo caso A sigue sin tener supremo. El ínfimo será -3.

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  5. gracias por las definiciones!!...creo que lo mejor para acordarse de esyo o mejor entenderlo es graficando en una recta un conjunto y anotar las cotas y demas

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  6. demuestre q El conjunto A = (2, +∞) U [-3, +∞) tiene como infimo -3

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    1. Creo que se podría demostrar haciendo una recta donde representar los numeros. El primer bloque va de 2 a infinito y el segundo va de -3 a infinito y como es la unión de los dos el numero más grande de los dos bloques pasa a ser el infinito mientras que el más pequeño será el -3. Pienso eh!
      :D

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  7. Genial explicación. Así es como se tendrían que explicar las matemáticas, para que se entiendan claramente. Con mi profesor de matemáticas no había manera de saber qué demonios era el ínfimo o el supremo (en dos años) y ahora en unos minutos ya no tengo la duda.
    Muchas gracias por hacer las mates accesibles a todo el mundo!

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    1. Completamente de acuerdo. Tenía un par de dudas acerca del ínfimo y con el ejemplo de [2, 9) me ha quedado claro.

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  8. si mi ejercicio dice A={x/x E Z : -2<x<=8} cuales serian las cotas??? el supremo es el 8 y es máximo porque dice menor o igual, pero el ínfimo es el -2 o el -1 ??? no me queda claro ya que esta en el campo de los números enteros y el -2 no está incluido.

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    1. El supremo es el 8 y el máximo también, ya que el 8 es un número entero. Las cotas inferiores son los números enteros menores o iguales que -2. La mayor de las cotas inferiores es el propio -2 que, por lo tanto, es el ínfimo. No hay mínimo, ya que el -2 no pertenece a A.

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    2. los
      entero no son un campo (cuerpo) pues no satifacen todos los axiomas que
      definen un campo (el inverso multiplicativo de un entero no siempre es
      un entero)

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