LIMITE DE UN COCIENTE DE POLINOMIOS

Vamos a ver como calcular el límite de una fracción donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.

Para ello necesitamos saber previamente cuáles son los grados del polinomio del numerador y del denominador.

Recordad que el grado de un polinomio es el mayor exponente al que está elevada la incógnita.

Caso 1: El grado más alto está en el denominador. Entonces el límite siempre vale 0.

Por ejemplo: lim(2n + 3)/(1 – n + n²) = 0, ya que el grado del numerador es 1 y el del denominador es 2.

Más ejemplos de este caso: lim(n² – 2n)/(3n³ – n + 8) = 0, lim(2n)/(n⁵) = 0, lim(2/n) = 0. En este último caso el grado del polinomio del numerador es 0 (el polinomio es 2) y el grado del polinomio del denominador es 1 (el polinomio es n).

Caso 2: El grado más alto está en el numerador. Entonces el límite siempre vale ∞. Para decidir si + ó – infinito hay que coger los signos de los términos de mayor grado del numerador y del denominador. Si son iguales el límite vale +∞, si son distintos vale -∞.

Ejemplo: lim(2n² + 3n + 5)/(5n – 7) = +∞, ya que el grado del numerador es 2, el del denominador es 1, luego el resultado es ∞. Además los términos de mayor grado son 2n² y 5n, ambos de signo positivo, por eso el valor es +∞.

Otro ejemplo: lim(3 + 5n – 4n³)/(n² – 1) = -∞, ya que el grado del numerador es 3, el del denominador es 2, luego el resultado es ∞. Además los términos de mayor grado son -4n³ y n², de signo distinto, por eso el valor es -∞.

Y otro más: lim(-n⁴)/n² = -∞, ya que el grado del numerador es 4, el del denominador es 2, luego el resultado es ∞. Además los términos de mayor grado son –n⁴ y n², de signo distinto, por eso el valor es -∞.

Mañana seguimos con el caso que falta.