martes, 17 de enero de 2012

NUMEROS INTERIORES


En un conjunto de números reales un número es interior al conjunto si podemos encontrar algún intervalo abierto que contenga al número y esté incluido en el conjunto.

Por ejemplo, en A = [2, 5] el número 3 es interior  a A, ya que el intervalo abierto (2´5, 4) contiene a 3 y está incluido en A.

En dicho conjunto A el número 5 no es interior. No hay ningún intervalo abierto que contenga a 5 y esté incluido en A. Por ejemplo, el intervalo (4´9, 5´1) contiene a 5 pero no está incluido en A.

En general si tenemos un intervalo de números reales, todos los números del intervalo son interiores excepto los extremos.

En el intervalo (-1, 8) todos los números del intervalo son interiores. No lo son el -1 ni el 8.

¿Es interior el número 3 al conjunto A = (-3, 3) U (3, 6)? Para que lo sea necesitamos encontrar un intervalo abierto que contenga a 3 y esté contenido en A. Pero no lo hay. Por ejemplo, el intervalo (2, 4) contiene a 3 pero en está contenido en A, ya que el propio número 3 no está en A (no está en ninguno de los dos intervalos que forman A). Por lo tanto 3 no es interior a A.

¿De cuáles de los siguientes conjunto es interior el número 0? A ) (-∞, 0) B) (-2, 0) U [0, 3)  C) [0, 4]  D) (-∞, 6) (-1, 7).

El número 0 no es interior al intervalo del apartado A) ya que 0 es un extremo de dicho intervalo.

El conjunto del apartado B) es: (-2, 0) U [0, 3) = (-2, 3), luego 0 sí es interior a este conjunto.

No es interior al intervalo del apartado C) por ser un extremo de él.

El conjunto del apartado D) es: (-∞, 6) (-1, 7) = (-1, 6), luego 0 sí es interior a este conjunto.

5 comentarios:

  1. Profesor, ¿por qué no es 3 interior de A=(-3,3) U (3,6), si la unión de A= (-3,6)?
    Gracias

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  2. La unión de los dos intervalos que forman A no es (-3,6). El 3 no está en ninguno de los dos intervalos luego tampoco está en la unión. Por eso no es interior.

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    Respuestas
    1. Profesor, no entiendo por qué la unión no es (-3,6).
      Gracias

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  3. Si A=(-3,3) U (3,6), entonces A está formado por todos los números que están en (-3,3) o en (3,6). Ambos intervalos son abiertos, luego sus extremos no están en los intervalos. El 3 no está en (-3,3) porque el intervalo es abierto por su lado. Tampoco está en (3,6) por la misma razón. Luego el 3 ni está en (-3,3) ni en (3,6), así que no está en la unión. Por lo tanto la unión no puede ser (-3,6), ya que en este intervalo sí está el 3.

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