INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Veamos algunas de las posibilidades que pueden darse:

Si a es un número real positivo cualquiera: I x I < a à -a < x < a. Es decir, la solución es el conjunto de todos los números reales del intervalo abierto (-a, a).

Si a es un número real positivo cualquiera: I x I ≤ a à -a ≤ x ≤ a. Es decir, la solución es el conjunto de todos los números reales del intervalo cerrado [-a, a].

Si a es un número real negativo cualquiera: I x I < a  no tiene solución, ya que el valor absoluto siempre es positivo y no puede ser menor que un número negativo. Igual ocurre si el símbolo es ≤.

Si a es un número real positivo cualquiera: I x I > a à x < -a ó x > a. Es decir, la solución es el conjunto de todos los números reales de la unión de dos intervalos abiertos: (-∞, -a) U (a, +∞).

Si a es un número real positivo cualquiera: I x I ≥ a à x ≤ -a ó x ≥ a. Es decir, la solución es el conjunto de todos los números reales de la unión de dos intervalos semicerrados: (-∞, -a] U [a, +∞).

Si a es un número real negativo cualquiera: I x I > a à todos los números reales son solución de la inecuación à Solución: (-∞, +∞). Igual ocurre si el símbolo es ≥.

Por ejemplo: I x I < 5 à -5 < x < 5 à x pertenece a (-5, 5).

Más ejemplos sencillos:

I x I > 3 à x pertenece a (-∞, -3) U (3, +∞).

I x I ≤ 2 à x pertenece a [-2, 2].

I x I ≥ 7 à x pertenece a (-∞ -7] U [7, +∞).

I x I < -3 à no hay solución.

I x I ≥ -2 à la solución es todo R, el intervalo (-∞, +∞).